PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC - TT KIM BÀI


Họ và tên: ..............................................................
Lớp: ...........................................................................

ĐỀ THI OLYMPIC
Năm học 2013 - 2014
Môn: TOÁN 7
Thời gian: .......... phút

Câu 1 : (........................ điểm)
(1) Cho tỉ lệ thức

Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)
a)
b)


(2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và
. Biết
là số nguyên tố và
. Tìm

Câu 2 : (........................ điểm)
1) Tìm x, y biết :
a)

b)
(x, y là số nguyên tố)
2) Chứng minh rằng đa thức f(x) =
không có nghiệm.
Câu 3 : (........................ điểm)
Tìm x
z để
đạt GTLN. Tìm GTLN của A.
Câu 4 : (........................ điểm)
Cho
ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng :
a)
AIJ cân
b) DA là tia phân giác của góc LDK
c) BK
AC ; CL
AB
d) Trực tâm của
ABC chính là giao của 3 đường phân giác của
DLK
e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất.


- HẾT -



HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC TOÁN 7
Câu 1 : (5 điểm)
1) (2 điểm)
a) Chứng minh đúng (1đ)
b) Chứng minh đúng (1đ)
2) (3 điểm)
- Từ gt hoán vị các trung tỉ và áp dụng tính chất dày tỉ số bằng nhau có
nên b2 = ac.
- Đo
là 1 số nguyên tố có hai chữ số nên b


- Đo ac = b2 ta xét các trường hợp :
b = 1 => a = c = 1 (loại do a
c)
b = 3 => a.c = 9 = 1.9 (do a
c) =>
(do 93 không là số nguyên tố)
có
(chọn)
b = 7 và b = 9 điều bị loại do dẫn đến a = c
Vậy

Câu 2 : (6 điểm)
(1) (4 điểm)
a) x = 2 hoặc x = 3 (2 điểm)
b) x = 5 ; y = 2 (2 điểm)
(2) Xét từng khoảng (2 điểm)
+ Xét x
0 lập luận R
dẫn đến f(x)
1 > 0
+ Xét 0 < x < 1 lập luận dẫn đến f(x) > 0
+ Xét x
1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
Trong cả ba khoảng trên đều có f(x)
0 nên đa thức f(x) không có nghiệm.
Câu 3 : (2 điểm)
Biến đổi A = 2 +
. Để

Xét 11 - x < 0 => B < 0
Xét 11 - x > 0 => B > 0 => Bmax <=> B > 0
Lập luận để có 11 - x là số nguyên dương nhỏ nhất.
=> x = 10
=> GTLN của A bằng 12 khi và chỉ khi x = 10
Câu 4 : (7 điểm)
K
L






a) Do AB ; AC là trung trực của AB. (1đ)
=> AI = AD
AD = AJ => AI = AJ =>
cân tại A.
b)
ALI =
ALD (c.c.c) =>

TT :
AKD =
AKJ (c.c.c) =>

Mà
AIJ cân (câu a) =>
(1,5đ)
=>

=> DA là tia p/g của

c) CMTT câu b : CL ; BK là p/g trong của
;
trong
DKL
=> BK
AC (1,5 đ)
CL
AB
d) Từ câu c => trực tâm của
ABC chính là giao